Les premières appartiennent aux équations du premier et du troisième cas et les autres à celles du deuxième et du quatrième cas. Il en résulte que le premier cas de Newton comprend les trois premiers cas d'Euler, par conséquent, nos trois premières classes, et que les trois derniers cas de Newton sont compris dans le quatrième cas d'Euler, ou dans notre 4me classe, dont chacun de ces cas forme un genre. 132. Pour établir ses quatorze divisions, Newton a eu égard au nombre et à la qualité des parties de la courbe munies de branches illimitées et, par suite, il partage les lignes du 3me ordre en : Hyperboles redondantes (1re, 2me, 3me et 4me divisions); Hyperboles paraboliques (7me et 8me divisions); Hyperbolismes (9me, 10me et 11me divisions); Trident, paraboles divergentes et parabole cubique (12me, 13me et 14me divisions). Il distingue ensuite les hyperboles par le nombre de leurs diamètres, en prenant le mot dans l'acception restreinte du 2me degré. Celles qui en sont dépourvues forment les 1re, 5me et 7me divisions, celles qui en possèdent un forment les 2me, 6me et 8me divisions, et la 3me division comprend les hyperboles qui possèdent trois diamètres bissecteurs. Il forme, en dernier lieu, une division distincte des hyperboles redondantes dans lesquelles les trois asymptotes passent par un même point: c'est la 4me division. Dans tous les cas d'un ou de plusieurs diamètres bissecteurs, la courbe est symétrique par rapport à ces droites : ce sont les cas de non-intersection de la courbe avec l'asymptote. Les divisions de Newton, sauf la 4me, ne sont donc autre chose que nos genres; et s'il se fût abstenu de former une division dictincte des cas de réduction du triangle asymptotique à un point, s'il eût formé deux divisions de chacune des trois espèces d'hyperbolismes dans lesquelles il peut également exister un diamètre bissecteur, il eût obtenu un nombre de divisions égal à celui de nos genres. Nous ajouterons qu'en formant une division distincte des hyperboles redondantes dans lesquelles le triangle asymptotique est réduit à un point, circonstance indiquée par l'an nulation du coefficient b qu'il donne au terme en x2 de son équation générale, Newton aurait dù, pour opérer systématiquement, former également une division distincte des hyperboles défectives dans les équations desquelles le terme en x2 manque. Il est vrai que ces hyperboles ne possèdent qu'une seule asymptote; mais elles possèdent, par contre, un système de diamètres conjugués qui forment avec l'asymptote un triangle, qui est l'analogue du triangle asymptotique des hyperboles redondantes et qui se réduit aussi à un point, en cas d'annulation du coefficient b. Les modifications qui en résultent dans les hyperboles défectives sont au moins aussi sensibles et aussi remarquables que celles que la réduction du triangle asymptotique produit dans les hyperboles redondantes. de 133. Newton prend pour base principale de sa sous-division en espèces la discussion de l'équation fournie par le polynome sous-radical de la valeur y: cette équation fournit les tangentes-limites. S'il se fût borné à ce moyen et s'il l'eût appliqué systématiquement, il eût obtenu le même nombre d'espèces que nous; mais il a, d'un côté, omis quatre cas, produits par la variation des tangentes-limites : ce sont ceux de nos 15me et 16me espèces de la 2me classe, et 8me et 9me espèces de la 3me classe. Il a aussi omis deux autres cas, qui forment les premières sous-divisions des 8me et 9me espèces de la 2me classe. D'un autre côté, il a, par contre, admis comme signes distinctifs d'espèces, des affections différentes de celles qui sont produites par la variation des tangentes-limites, savoir : d'abord, l'annulation du triangle asymptotique, qui a fourni neuf espèces, ses 24me à 32me; ensuite, le changement de position de ce triangle, qui a donné ses 6me, 7me, 14me, 16me, 17me, 19me et 23me espèces; en troisième lieu, dans les hyperboles redondantes munies d'un seul diamètre, la différence de position de l'hyperbole inscrite et de l'hyperbole circonscrite, qui a produit la 15me espèce et la 17me déjà citée; enfin, en dernier lieu, symétrie inverse, qui a donné les 38me, 59me et 61me espèces, ainsi que la 33me comprise dans les neuf hyperboles redondantes dans lesquelles le triangle asymptotique est réduit à un point. la Newton n'a cependant pas admis d'une manière sytématique, comme signes distinctifs d'espèces, les conditions analytiques des caractères précités. C'est ainsi qu'il n'a pas eu égard au changement de signe du coefficient b et à son annulation dans les hyperboles redondantes munies d'une partie anguinée, et en général dans les hyperboles défectives. S'il eût eu égard à ces circonstances chaque fois qu'elles peuvent se présenter, il eût trouvé dix-sept espèces de plus, lesquelles, ajoutées aux soixante-douze espèces qu'il a énumérées et aux six cas qu'il a omis, eussent produit en tout quatre-vingtquinze espèces. Tel devrait être le nombre des espèces de lignes du 3me ordre, en appliquant, d'une manière systématique, toutes les conditions analytiques admises par Newton pour distinguer ces lignes. 134. Nous avons admis la variation du nombre des tangentes-limites et de leur position relative comme seuls signes distinctifs des espèces. Quant aux autres affections, elles n'ont pas été négligées, mais elles ont été considérées comme des caractères distinctifs de sous-espèces ou de variétés d'une même espèce. En opérant de cette manière, nous sommes parvenu à réduire le nombre des espèces des lignes du troisième ordre à cinquante-six, sans omettre aucune des particularités que ces lignes peuvent présenter. FIN. |