SUR UN POINT

DE

LA THÉORIE DE LA FORMULE DE STIRLING.

S 1. La question dont je vais m'occuper dans cette note est la suivante :

Si l'on prend d'une manière approchée pour développement de log г(1+a),

déterminer la valeur de m qui fournit la plus grande approximation; ou, en d'autres termes, déterminer à priori le nombre de termes qu'il faut prendre dans la formule de Stirling*, pour que l'erreur soit la moindre possible.

La série de Stirling, dont la haute importance pratique n'est pas discutable, mais dont la théorie est restée longtemps fort incomplète, a été, dans ces vingt dernières années, l'objet de travaux remarquables, et l'on a aujourd'hui diverses démonstrations de ce beau théorème qui fut un pas décisif dans cette théorie **.

La formule citée est due à Stirling, seulement lorsque a est un nombre entier. Nous la désignerons cependant toujours sous le nom de formule de Stirling.

** On peut consulter à ce sujet, dans le Journal de Crelle, les mémoires de M. Raabe, t. XXV et XXVIII, et un mémoire de M. Malmsten, t. XXXV; un mémoire de Cauchy, dans le t. II des Exercices d'analyse et de physique mathématique; enfin un mémoire de M. Schaar, dans le XXII volume des Mémoires des savants étrangers de l'Académie de Bruxelles.

Si on arrête la série de Stirling à un terme quelconque, l'erreur commise est moindre que le dernier terme conservé, et moindre encore que le terme qui aurait suivi.

La question que je me suis proposée est relativement sans aucune importance. Il est rare, lorsqu'on emploie la formule de Stirling, que l'on pousse le calcul jusqu'au terme qui donnerait l'erreur minimum. Il suffit que l'on sache que chaque terme est une limite supérieure de l'erreur commise en calculant la série jusque-là, et que de plus, on ait démontré, comme l'ont fait Legendre et Cauchy, que les termes vont en décroissant aussi longtemps que m n'est pas supérieur à ɑ. Mais lors même que leur utilité pratique serait tout à fait nulle, on ne doit pas moins étudier les points restés obscurs des théories importantes et qui n'ont pas encore été abordés par des méthodes rigoureuses. A ce titre, la présente recherche ne sera peut-être pas dénuée d'intérêt. On verra, du reste, qu'elle nous permettra d'énoncer sur la série de Stirling elle-même quelques propositions assez remarquables.

$ 2. Cauchy a démontré (Exercices d'analyse et de physique mathématique, t. II, pages 393 et suiv.) que l'on a rigoureusement pour toute valeur positive de a

Si dans chacune des intégrales dont se compose cette somme, on rem

Ainsi on a pour toute valeur de a positive, la formule rigoureuse :

dont on peut voir la démonstration directe dans le mémoire cité de M. Schaar, qui a le premier présenté sous cette forme élégante le terme sommatoire de la formule de Stirling *.

Ainsi la valeur absolue de l'erreur commise, en prenant, dans la série de Stirling, m termes à partir de

B

1.2a

est représentée par

Remarquons en passant que, sous cette forme, le théorème énoncé au 1 est évident; car

étant essentiellement positive, il résulte que l'erreur est toujours de signe contraire au dernier terme conservé, et comme les termes sont alternativement positifs et négatifs, l'erreur change de signe à chaque terme, ce qui exige qu'elle soit moindre que le dernier terme conservé, et moindre que celui qui aurait suivi.