(Fig. 26.) Epicycloïde.

Soient O, O' les centres respectifs du cercle fixe et du cercle roulant, C le centre instantané, M le point décrivant et MC la normale à sa trajectoire; A, A' enfin les points en contact à l'origine du mouvement, et BM l'arc de cercle de rayon O'M décrit du centre O'. L'aire U est toujours le secteur A'MC. Les arcs AC, A'C étant égaux, les angles O et O' sont en raison inverse des rayons R et R', et la rotation totale à partir de l'origine, qui a pour expression 00', devient

L'angle en O' est, d'ailleurs, la différence des angles A'MC, MCO', d'où il résulte, par un raisonnement exactement semblable à celui que nous avons fait pour la cycloïde, que, si l'on désigne par S l'aire A'MBC comprise entre les arcs CA', BM et les rayons O'A', O'C, on aura pour expression de l'aire désignée par V:

et, par conséquent, l'aire &, comprise entre l'épicycloïde, le cercle fixe et les normales AO, CM, est donnée par l'équation

Après une révolution complète du cercle roulant, U est égal à l'aire A de ce cercle, et S à A-B, B désignant l'aire du cercle que décrit le point M autour du centre O': on a donc, pour l'aire totale de l'épicycloïde correspondante à une révolution entière du cercle roulant,

On passe très-facilement de là aux expressions algébriques de ces aires, comme pour la cycloïde.

Dans l'épicycloïde ordinaire, le point décrivant étant sur la circonférence du cercle roulant, SO, et l'on a, pour l'aire terminée à une normale quelconque

Donc, l'aire comprise entre l'épicycloïde ordinaire, sa base et une normale quelconque, est au segment du cercle roulant retranché par cette normale, comme trois fois le rayon du cercle fixe, plus deux fois le rayon du cercle mobile, est au rayon du cercle fixe.

Après une révolution complète, U — A.

Lorsque le cercle roulant est intérieur au cercle fixe, le signe de R' seul est changé; et l'on déduit facilement des théorèmes généraux qui précèdent l'aire de l'ellipse.

FIN.