EXPOSÉ

D'UN

PRINCIPE CONCERNANT L'INTERSECTION DES SURFACES,

AVEC

APPLICATION A LA RECHERCHE DE PROPRIÉTÉS DES SURFACES

DU SECOND ORDRE.

OBJET DE CE MÉMOIRE.

1. On connaît diverses solutions du problème: Reconnaître si une courbe représentée par ses deux équations

Si cet angle en chaque point de la courbe est nul, c'est-à-dire si l'on a :

d2y d3z - d2z d3y = 0,

quelle que soit la variable x, elle est entièrement plane.

Quelque ingénieuse que soit cette méthode, elle conduit, dans l'application à des cas même très-simples, à des opérations compliquées.

Il suffit, pour s'en convaincre, d'en faire usage dans le cas suivant, un des plus simples de l'intersection de deux surfaces :

La sphère construite sur l'axe moyen d'un ellipsoïde, comme diamètre, coupe cette surface suivant les deux sections circulaires, dont les plans passent par l'origine.

2. Bossut, dans son Traité de calcul différentiel, page 146, pose la même question et en donne la solution suivante :

« Il est évident, dit-il, que la courbe sera plane, lorsque l'équation de >> l'une des courbes de projection est à la simple droite. La question est donc » d'examiner si, par l'élimination de l'une des trois variables x, y, z, on >> trouve entre les deux autres une équation du premier degré. »

Parmi l'infinité de cas qui peuvent se présenter, cette solution ne s'applique qu'à celui où la courbe se trouverait dans un plan perpendiculaire à l'un des plans de projection; dans tous les autres cas, la courbe peut être plane sans satisfaire à cette condition.

3. Au sujet de la même question, voici une solution extraite des Correspondances sur l'École polytechnique:

Éliminant une des variables z, par exemple, entre ces équations, on trouve :

Cela posé, si l'intersection des surfaces est plane, elle peut être déterminée par l'intersection de l'une d'elles avec un plan :

↓ (x, y, z) = 0.

Éliminant entre cette équation et l'une des proposées, on devra trouver un résultat identique avec :

F(x, y) = 0.

Or, l'élimination d'une des variables entre des équations dépassant le second degré devient très-compliquée.

Si les surfaces sont du second ordre, il s'introduira, en général, des radicaux dans l'équation résultante, ce qui rend la solution laborieuse.

Pour s'en convaincre, on pourra résoudre la question:

Dans quel cas deux surfaces du second ordre, aux axes principaux parallèles, se coupent-elles suivant des courbes planes?

4. Une autre solution de la question serait de chercher le plan osculateur de la courbe en un point quelconque. Si la courbe est plane, le plan osculateur est celui de la courbe.

J'ai indiqué ce moyen ailleurs, dans la discussion d'une courbe particulière.

Cette méthode ne s'applique généralement avec avantage que dans les questions de mécanique, où il s'agit de la trajectoire d'un point dont les coordonnées sont des fonctions explicites du temps.

Elle s'applique d'ailleurs plus avantageusement que celle par l'angle de torsion, parce qu'elle fait en même temps connaître le plan de la courbe.

5. Passons à une dernière méthode, qui sert en géométrie descriptive pour résoudre la même question :

Si le cône ayant pour sommet un point de la courbe, et pour directrice la courbe même, se réduit à un ou plusieurs plans, la courbe est plane. Or, si l'on excepte les cas les plus particuliers, cette méthode n'est guère applicable en géométrie analytique.

Telles sont les méthodes dont on s'est servi pour juger si une courbe donnée est plane ou gauche.

6. J'indiquerai, plus loin, une méthode qui est, en général, plus simple, plus sûre et plus expéditive que celles que je viens d'exposer.

Si les équations de la courbe sont rationnelles, l'emploi de cette méthode ne conduira jamais à des résultats dans lesquels les variables se trouvent engagées sous des radicaux.

Elle fournit en même temps les équations des plans, qui contiennent la courbe d'intersection des surfaces.

L'emploi de cette méthode m'a conduit à une théorie plus simple et plus

complète des sections circulaires, que celle par la transformation des coordonnées.

Elle m'a permis, en outre, de découvrir une suite de nouvelles propriétés, ainsi que de démontrer plus simplement d'autres propriétés déjà connues. En tout cas, la plupart des propriétés que j'exposerai n'ont, à ce que je sache, été énoncées nulle part.

7. La connaissance de l'espèce de la courbure d'une ligne est d'une grande importance. Chaque courbe prise sur une surface peut engendrer cette surface, si son mouvement et sa déformation sont exprimés par un nombre suffisant de lois. Ces lois sont les plus simples, si la courbe génératrice est plane.

En considérant cette courbe comme l'intersection de deux surfaces, je ferai voir, à ce sujet, quelles sont les lois auxquelles il faut assujettir le mouvement d'un plan et d'une sphère, pour engendrer les surfaces du second ordre admettant des sections circulaires.

L'exposition de ces recherches formera l'objet de ce mémoire.

étant les équations de deux surfaces, pour que leur intersection soit comprise dans un plan :

il faut qu'en éliminant une des trois variables entre (1) et (3), puis entre (2) et (3), on obtienne des résultats identiques.