En effet, soit :

✪ l'angle de la droite que parcourt le centre de la sphère avec le plan,

33. Ici se présente la question si, en assujettissant le système à moins de conditions, on peut encore engendrer un ellipsoïde quelconque.

La question se résout facilement comme suit :

Supposons que la sphère, en conservant le même rayon R, se meuve de manière que le centre décrit, d'un mouvement uniforme, l'axe des Z, en sorte que

Supposons que le plan se meuve parallèlement à lui-même et avec une vitesse constante, de manière que

on aura pour l'équation du plan et du cercle, par conséquent pour les équations de leur intersection, en un instant quelconque, t.

En donnant à des valeurs particulières 0, 1, 2..., on aura la courbe d'intersection aux instants 0, 1, 2...; mais si, au contraire, on élimine t entre ces équations, on a le lieu géométrique de ces intersections.

équation d'un ellipsoïde ayant pour axe moyen le rayon de la sphère primitive et dont les autres axes sont déterminés par L, K, p.

Nous

pouvons conclure de là que :

GÉNÉRATION De l'ellipsoïde.

et d'un plan se meut, en sorte que :

Si un système d'une sphère de rayon constant

1o Le centre de la sphère parcourt une droite d'un mouvement uniforme; 2o Le plan passant d'abord par le centre de la sphère se meut aussi avec une vitesse constante parallèlement à lui-même, les intersections successives forment l'ellipsoïde.

Le diamètre de la sphère est en même temps la longueur de l'axe moyen.

Remarque.

Cette génération étant démontrée, indépendamment de tout ce qui précède, elle implique une nouvelle démonstration de l'existence des sections circulaires dans la surface.

34. Dans les numéros précédents, nous avons considéré les sphères, dont les centres se trouvent sur l'axe des z.

Passons au cas où le centre de la sphère, coupant la surface proposée, suivant une section plane, se trouve sur la direction du petit axe de la surface. En posant

Par conséquent, si le centre de la sphère, coupant suivant des cercles, est pris sur l'axe des x positifs, les plans suivant lesquels elle coupe passent, parallèlement à l'axe moyen, par un même point de l'axe des x positifs, et coupent l'axe des z l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan des xy à la même distance, et les deux sections sont parfaitement symétriques par rapport au plan des xy.

35. Si, en procédant d'une manière analogue, comme au n° 29, on cherche la signification de l'équation (9''), on trouve que R est la distance maxima d'un point («, o) de l'axe des x à l'ellipse construite sur l'axe moyen et le petit axe de l'ellipsoïde, et que la valeur de x, qui correspond à ce maximum, est

Cette distance R est mesurée par la longueur de la normale à l'ellipse CN ou CN' (fig. 2), passant par le centre C de la sphère. L'extrémité de la normale a même abscisse OM que le point M, où les deux plans viennent rencontrer l'axe des x. De là nous concluons que :

PROPRIÉTÉ. Une sphère, dont le centre se meut sur le petit axe, et dont le rayon est à chaque instant égal à la normale, passant par son axe à l'ellipse, construite sur le petit axe et l'axe moyen, coupe constamment l'ellipsoïde suivant deux sections circulaires, dont les plans passent par l'extrémité de la normale.

$2.

INTERSECTION DE LA SPHÈRE AVEC L'HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE.

On voit que si, dans les formules obtenues dans le paragraphe précédent, on change le signe de P", les résultats s'appliqueront à la surface proposée. Ainsi une sphère de rayon R, dont le centre a pour coordonnées a, 0, 7, coupera l'ellipsoïde suivant deux sections circulaires comprises dans les plans

En vertu des relations (2), cette dernière équation peut être mise sous la

Ces équations impliquent la condition P > P' ou a < b. Ainsi :

PROPRIÉTÉ.

Il y a une infinité de sphères ayant toutes leurs centres dans le plan principal perpendiculaire au plus grand axe réel de la surface, qui coupent la surface suivant des circonférences de cercles.

PROPRIÉTÉ. — Chacun des plans (4), (5), ainsi que tout plan parallèle, donne

des sections circulaires.

Tous les problèmes, résolus pour l'ellipsoïde dans les nos (16), (17), (18), se résolvent d'une manière analogue pour la surface proposée.

Le théorème de Hachette subsiste aussi pour cette surface: on n'a qu'à changer P en P'' dans le no (9).

37. L'équation (3) représente les centriques de la surface. On voit que : 1o Pour R = b, ce lieu se réduit à un point, l'équation résultante ne peut être satisfaite que pour a = 0, y = o. Ainsi :

PROPRIÉTÉ.

La sphère construite sur les deux axes réels coupe la surface suivant les deux circonférences dont les plans passent par l'origine.

2o Pour R<b, la centrique devient imaginaire; de sorte qu'aucune sphère de rayon plus petit que le plus grand axe réel ne peut couper la surface suivant des cercles.

3o Pour R>b, l'équation (5) représente une ellipse ayant son centre à l'origine et ses axes principaux sur la direction des x et des z. Ainsi :

PROPRIÉTÉ. Si une sphère de rayon R se meut sur l'ellipse (5), ses intersections consécutives avec les surfaces seront circulaires.

38. Les traces des deux plans (4), (5) se coupent en un point.