On peut déduire d'une de ces propositions une conséquence assez curieuse, et qui n'a pas non plus, je pense, été remarquée. (Fig. 2.) Soit UV la courbe fixe, U'V' la courbe roulante, C le point de contact, et imaginons que la courbe qui se meut, invariablement liée à la courbe roulante, soit une des développantes de celle-ci, U' étant son origine sur la courbe. La tangente commune CM coupe la développante mobile en un point M, et, d'après ce qui précède, M est le point où elle touche son enveloppe, puisque CM est évidemment normale à cette développante. Mais, d'un autre côté, soit U le point de la courbe fixe qui coïncidait avec U' à l'origine du mouvement, et US la développante de cette courbe fixe qui a son origine en U, et qui est aussi normale à CM. Or, d'après la propriété des développées, on a CM arc U'C, donc CM arc UC, donc le point M est un point de la développante US. Donc : Lorsqu'une courbe roule sur une autre, en emportant dans son mouvement une de ses développantes, l'enveloppe des positions successives de cette dernière est une développante de la courbe fixe. On tire de là plusieurs conséquences; par exemple: lorsqu'un cercle roule sur une droite, toute développante du cercle passe constamment par un certain point de cette droite : ce qui était d'ailleurs évident. (Fig. 3.) 1. Soient a, u, v les distances respectives de trois points A, U, V à un même point C, situé avec eux en ligne droite, ces distances étant comptées à partir du point C, positivement dans le sens CA, négativement en sens contraire, et soit T un point tel que U soit le milieu de CT. On sait que la condition nécessaire et suffisante pour que les points A, V soient conjugués harmoniques par rapport à C, T est exprimée par l'équation : quelles que soient les positions relatives des points A, U, V par rapport à C, pourvu qu'on ait égard aux signes dont les distances sont affectées. (Chasles, Géom. sup., p. 42.) Il est, d'ailleurs, facile de vérifier ce résultat. 2. Lorsque nous considérerons les angles décrits par une droite autour d'un point lié invariablement à une figure mobile, nous regarderons comme positifs les angles décrits dans le sens de la rotation de la figure autour de ce point, et comme négatifs, les angles décrits en sens contraire. De cette manière, l'angle total décrit par la droite après un temps quelconque, sera toujours la somme algébrique des angles partiels. (Fig. 4.) 3. Soit M un point quelconque du plan, C le centre instantané de rotation pour l'instant que l'on considère, P un point tel que M soit le milieu de CP. Nous dirons simplement que P est l'homologue du point M, en sorte qu'un point étant donné, son homologue se construira immédiatement. S 5. Théorème général sur le mouvement d'une figure (Fig. 5, 6, 7.) Une figure se déplace d'un mouvement continu: soit C le centre instantané pour une position donnée de la figure, M un point lié à celle-ci, MC est la normale à la trajectoire qu'il décrit. Considérons une seconde position quelconque de la figure, soient alors C, le centre instantané, M, le point décrivant, M, C, ́ la normale à sa trajectoire, et soit C' le point de la figure mobile dans sa première position qui vient en C, dans la seconde; de sorte que la droite MC' vient en M, C, coïncider avec la seconde normale. L'angle total V, dont la normale à la trajectoire a tourné autour du point mobile, peut être considéré comme résultant de l'angle CMC' ou M, qu'elle décrit autour de ce point dans la figure mobile, et de l'angle 2, dont la figure mobile tourne autour du même point: Q est ce que nous avons appelé la rotation de la figure. D'après nos conventions, on aura donc toujours: V = M + N en tenant compte des signes dont les angles sont affectés. (2) L'angle M, par exemple, est positif pour tout point situé d'un côté de la droite CC', négatif pour tout point situé de l'autre côté. Sur CC', et du côté de cette droite pour lequel l'angle M est toujours négatif, décrivons le segment capable de l'angle 2 : pour tout point M de cette circonférence, l'angle M est négatif et égal à 2, ou positif et égal à 180°suivant que ce point est de côté ou d'autre de la droit CC'; donc l'angle V est nul dans le premier cas, égal à 180° dans le second, d'où : THÉORÈME I. — Lorsqu'une figure invariable se déplace sur un plan d'un mouvement continu, si l'on considère deux quelconques de ses positions, il y a une infinité de points de la figure mobile dont chacun jouit de cette propriété que les normales à la trajectoire qu'il décrit, dans ces deux positions de la figure, sont parallèles entre elles. Le lieu géométrique de ces points est un cercle passant par les deux points de la figure mobile qui coïncident avec le centre instantané dans ces deux positions. S 6.- Application à un mouvement infiniment petit. Supposons infiniment voisines les deux positions de la figure soit Z le point de rencontre des normales MC, M, C, à la trajectoire d'un point quelconque M lié à la figure mobile. La rotation infiniment petite 2 ayant pour effet d'amener C' en C,, il est clair: (Fig. 5.) 1o Que, si le point décrivant M est de l'autre côté de CC' par rapport à C1, l'angle M est négatif, et de plus, il est plus petit que 2, si le point M est hors du cercle déterminé dans le théorème Ier. L'angle V est donc positif; donc les normales se coupent en Z au delà du point C par rapport à M; (Fig. 6.) 2o Si M est dans l'intérieur du cercle, l'angle M est négatif et >2, V est négatif; donc les normales se coupent en Z du côté CM et au delà du point M par rapport à C; (Fig. 7.) 3o Si M est du même côté de CC' que le point C1, l'angle M est positif, V est donc positif, et les normales MC, MC, se coupent en Z entre les points C et M. Mais Z, à la limite, est le centre de courbure de la trajectoire du point M. D'autre part, le rayon du cercle susdit est égal évidemment à sorte que, si l'on désigne par le rayon du cercle-limite, on a : 2 sin THÉORÈME II. le Lorsqu'une figure se meut sur un plan d'un mouvement continu, il y a dans chaque position de cette figure une infinité de ses points qui décrivent actuellement un point d'inflexion sur leurs trajectoires; lieu de ces points est une circonférence passant par le centre instantané, et qui a son centre sur la normale commune. Ce cercle est d'ailleurs de l'autre côté de la courbe roulante par rapport à la courbe fixe. Nous lui donnerons le nom de cercle d'inflexion, et le point diamétralement opposé au centre instantané sur sa circonférence sera le pôle d'inflexion: il sera toujours noté par la lettre I. THÉORÈME III. — Tout point de la figure mobile situé hors du cercle d'inflexion décrit une trajectoire qui tourne sa concavité vers le centre instantané de rotation. Tout point situé dans l'intérieur du même cercle, au contraire, décrit une trajectoire qui tourne sa convexité vers le centre instantané. Le cercle d'inflexion jouit donc de propriétés remarquables dans la figure en mouvement: il varie d'ailleurs avec la position de celle-ci. Ces théorèmes sont complétement généraux et indépendants des conditions qui règlent les mouvements de la figure. (Figures 5, 6, 7.) Désignons par l'angle aigu de la normale CM à la trajectoire du point M avec la normale commune, et soient u, v les distances du centre instantané au point M et au centre de courbure de sa trajectoire, ces distances étant comptées à partir du point C, sur la normale, positivement du côté où tombe la projection du pôle d'inflexion sur cette normale, et négativement en sens contraire. Il est clair, d'après cette convention, que u sera toujours de signe contraire à celui de l'angle M, et v de signe contraire à celui de l'angle V. Les triangles CMC', CZC, donnent, en conséquence : en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à M et V. Substituons les valeurs de M, V dans l'équation (2), divisons par CC' cos, en (3) P Remarquons maintenant que 2R cos exprime la distance du centre instantané à la projection I' du pôle d'inflexion sur la normale CM, et que l'équation (3) est d'ailleurs complétement générale, eu égard aux signes des quantités, et, d'après le § 4, nous pourrons énoncer le théorème suivant: THEOREME IV. — La projection du pôle d'inflexion sur la normale à la trajectoire d'un point est le conjugué harmonique du centre de courbure de cette trajectoire, par rapport au centre instantané de rotation et à l'homologue du point décrivant. Cette relation géométrique très-simple est, de plus, indépendante des positions relatives des points I',M,C,Z et des conditions qui déterminent le mouvement de la figure. § 7. Détermination géométrique du pôle d'inflexion. (Figures 8, 9, 10.) Si par le point C, on mène une normale à la courbe fixe, par C' une normale à la courbe roulante, soit O et O' les points où ces normales coupent respectivement la normale commune : les arcs CC,, CC' étant égaux, C'O' est la droite de la figure mobile qui vient s'appliquer sur la normale C,O, lorsque le point C' est venu en C,; en sorte que CO, C,O sont deux normales infiniment voisines à la trajectoire que décrit le point O'. Mais d'ailleurs O', ont respectivement pour limites les centres de courbure de la |