42. L'intégration de cette équation (102) paraît d'abord assez pénible : pour y parvenir, j'ai dû avoir recours au procédé suivant.

Mettant

g et h en facteurs communs, j'écris ainsi l'équation :

g(u V1 + v2 du — v V 1 + u2 dv) + h (v VT + v2 du — u V 1 + u2 dv) = o.

Maintenant, soient a, ẞ deux nouvelles variables, telles que :

On satisfait aux équations différentielles (104) en prenant :

α

La question incidente que nous nous étions proposée peut être regardée comme résolue; car les équations (106) donnent u et v en fonction de « et de ẞ, ou seulement en fonction de ẞ et de la constante k. Ces valeurs, substituées dans l'une ou dans l'autre des équations (100), permettront d'intégrer celle-ci. Le résultat a la forme

k'

1. — SF (3, k) d3,

(109)

k' étant la constante arbitraire.

43. D'après la méthode indiquée au paragraphe I, les surfaces orthogonales à la surface donnée seront représentées par

la fonction 9 étant arbitraire, et les constantes k', k étant remplacées par leurs valeurs en x, y, z, au moyen des équations (92) et suivantes. Il est facile de comprendre que ce calcul est purement inextricable. A plus forte

raison sera-t-il impossible de trouver les formes, π, de la fonction 9, qui correspondent à un système orthogonal (s'il en existe un). Cette troisième méthode ne peut donc, pas plus que les deux premières, nous conduire au but (*).

44. Remarques. I. Les surfaces qui ont pour équations :

II. La courbe d'intersection de ces deux surfaces, évidemment située sur les cylindres de révolution qui ont pour axes les droites données, et pour rayons a+bet ab, est située aussi sur l'ellipsoïde représenté par

III. Lorsque les rayons varient de manière que la somme de leurs carrés soit constante, cet ellipsoïde est invariable.

IV. Si + b = a, les équations (110) se décomposent en_

(*) Il en est de mème de plusieurs autres transformations, que j'ai essayées en vain. Je signalerai celle qui consiste à prendre p et q pour variables, au lieu de x et y : elle conduit souvent

à un résultat simple.

TOME XXXII.

5

« C'est donc par des pointes que les quatre nappes infinies touchent les surfaces fermées. » (Dupain. Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XX, p. 63.)

45. Les surfaces (110) étant orthogonales, on peut chercher si elles peuvent être coupées orthogonalement par une troisième surface. Pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir, en même temps:

droites données sont obliques, les surfaces représentées par les équa

tions (110) n'appartiennent pas à un système orthogonal.

FIN.