MÉMOIRE EN RÉPONSE A LA QUESTION SUIVANTE : TROUVER LES LIGNES DE COURBURE DU LIEU DES POINTS DONT LA SOMME DES DISTANCES A DEUX DROITES QUI SE COUPENT EST CONSTANTE; TOME XXXII. PAR M. EUGÈNE CATALAN. 1 MÉMOIRE EN RÉPONSE A LA QUESTION SUIVANTE : TROUVER LES LIGNES DE COURBURE DU LIEU DES POINTS DONT LA SOMME DES DISTANCES A DEUX DROITES QUI SE COUPENT EST CONSTANTE. Trop ou trop pen. Le cas où les droites sont perpendiculaires est assez simple: il a été résolu indirectement par M. Serret (*). Au contraire, si l'angle formé par les deux droites est quelconque, la détermination des lignes de courbure de la surface dont il s'agit parait excessivement difficile, sinon impossible, dans l'état actuel de l'Analyse. Pour cette double raison, je me serais abstenu de prendre part au concours ouvert par l'Académie, si mes tentatives, infructueuses quant à la partie essentielle de la question proposée, ne m'avaient conduit néanmoins à quelques résultats nouveaux, soit sur la théorie des lignes de courbure, soit sur l'intégration des équations du premier ordre. Ce sont ces résultats que je soumets à l'examen de l'Académie. (*) Journal de Liouville, t. XII, p. 247. I. Sur l'équation Pp+Qq=R. 1. Supposons, pour plus de simplicité, que P, Q, R soient les dérivées partielles d'une fonction F (x, y, z); savoir: D'après cette hypothèse (*), l'intégration de l'équation Pp + Qq Ꭱ . dans laquelle p, q désignent, à l'ordinaire, les dérivées partielles d'une fonction inconnue z, équivaut à la solution de ce problème : Déterminer toutes les surfaces & qui coupent orthogonalement les surfaces S représentées par l'équation F(x, y, z) = c, (2) c étant une constante arbitraire. par En effet, les cosinus des angles formés, avec trois axes rectangulaires, les normales aux surfaces données et aux surfaces inconnues sont, respectivement, proportionnels aux quantités : P, Q, R, P, 9, -1; (*) Elle n'est pas toujours admissible; car la condition d'intégrabilité de l'équation donc l'équation (1) exprime qu'en un point quelconque de la courbe d'intersection, ces deux droites sont perpendiculaires entre elles. 2. Pour trouver toutes ces surfaces orthogonales, ou pour intégrer l'équation (1) il faut, d'après la méthode connue : 1o poser les équations simul étant une fonction arbitraire toutes les surfaces & sont représentées par l'équation (6). 3. Nous ferons observer, en passant, que les équations (4) et (5) représentent deux familles de ces surfaces: celles qui répondent à et à f(x, y, z) constante, f(x, y, z) = constante. On arrive à la même conclusion en différentiant les équations (4), (5) et en ayant égard aux relations (3). En effet, on trouve ainsi 4. Remarquons encore que l'ensemble des équations (4), (5), pour des valeurs données de a, ß, représente une courbe normale à toutes les surfaces (2). Quand on établit une équation de condition, a = (3), entre les paramètres et ß, le lieu de toutes ces courbes est l'une des surfaces ortho α |